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波尔查诺-维尔斯特拉斯定理

波尔查诺-维尔斯特拉斯定理是指有界数列必有收敛子列。从极限点的角度来叙述致密性定理,就是:有界数列必有极限点。

致密性定理:有界数列必有收敛子列。

先介绍子列的概念:在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序,这样得到的一个数列称为原数列的子列。

根据极限的性质,数列有界是收敛的必要条件,即如果数列收敛,那它一定有界,但反之不一定成立。可是致密性定理却告诉我们,只要一个数列有界,那么它一定会有收敛的子数列。

由于子列收敛,设收敛到常数A,根据极限的几何意义,在A的ε邻域内总有子列的无数个点。而ε是任意正数,这就意味着在A的任何邻域内都有子列的无数个点。所以从点集的角度来描述该定理,则是:有界点集至少有一个聚点(即聚点定理)。

致密性定理体现了实数的连续地慨采壳性,与其他体现实数连续性的命题等价。特别地,聚点定理可以看做致密性定理在点集拓扑论中的体现,或者说致密性定理是聚点定理在实数理论中的体现,所以有的书上把这两个定理等同来看待。

下面用实数公理——戴德金定理来证明致密性定理。

设数列{xn}有界,即存在M>0,|xn|≤M。若{xn}中有无穷多项相等,取这无穷多项构成{xn}的一个子列,则该子列为一常数列,而常数列总是收敛的。

若{xn}中只有有限项相等,定义数集A,A中任一元素c满足:在区间(-∞,c]上最多只有{xn}的有限项(注意用词“最多”,这意凶束漏匪味着(-∞,c]上可以有{xn}的0项),而区间(c,+∞)上有{xn}的无穷多项。并把A在R中的补集记为B。显然:

①-M-1∈A,M∈B,因此A、B非空;

②A∪B=R;

③对任意p∈A,q∈B,都有p<q(反证可得)

根据戴德金定理,存在唯一实数ξ,要么它是A中的最大值,要么它是B中的最小值。

取任意ε>0,有ξ-ε∈A,ξ+ε∈B,因此区间(ξ-ε,ξ+ε)有{xn}的无穷多项。这是因为假设(ξ-ε,ξ+ε)只有{xn}的有限项,则根据数集A的构造,在(-∞,ξ-ε]上只有{xn}的有限项,而数列中等于ξ+ε的项最多也只有有限个,于是(-∞,ξ-ε]∪(ξ-ε,ξ+ε)∪{ξ+ε}=(-∞,ξ+ε]上只有{xn}的有限项。所以ξ+ε∈A,矛盾。

由于(-∞,ξ-ε]上只有{xn}的有限项,影台立当ε逐渐减小时,(ξ-ε,ξ+ε)之外的项将逐渐盛迁增多。要使(ξ-ε,ξ+ε)仍有{xn}的无穷多项,则n需要足够大,即n越大越可能留在(ξ-ε,ξ+ε)之内,n越小越可能落在(ξ-ε,ξ+ε)之外。

于是,取

……

于是就得到数列{xn}的子列

这就证明了燥端地致密性定理。

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